Die Lösung linearer Gleichungssysteme

Die Lösung linearer Gleichungssysteme


Inhalt:


Zeichnerische Lösung

  1. Bestimme, falls nötig, die Normalform (y = mx + n) der beiden Geradengleichungen.
  2. Zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem.
  3. Bestimme, falls vorhanden, den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
  4. Führe die Probe durch (Ausgangsgleichungen)!


Gleichsetzungsverfahren

  1. Löse beide Gleichungen nach einem gemeinsamen Term (z.B. 2y, x, -2x, 5y) auf!

    5x = 2y + 7 | - 7

    2x + 2y = 14 | - 2x

    2y = 5x - 7

    2y = 14 - 2x

  2. Erzeuge durch Gleichsetzen eine Gleichung mit nur einer Variablen. Berechne daraus ein Ergebnis für x oder y.

    5x - 7 = 14 - 2x | + 7

    5x = 21 - 2x | + 2x

    7x = 21 | : 7

    x = 3

  3. Berechne den fehlenden x– oder y-Wert durch Einsetzen des berechneten Wertes in eine der beiden Gleichungen des Gleichungssystems.

    2y = 5x - 7 | einsetzen: x=3

    2y = 5 · 3 - 7 | auflösen

    2y = 8 | : 2

    y = 4

  4. Mache gegebenenfalls die Probe und gib die Lösungsmenge an.

    2y = 5x - 7 | einsetzen: x=3; y=4

    2 · 4 = 5 · 3 - 7 | auflösen

    8 = 8 | (wahr)

    L = {3/3}


Einsetzungsverfahren

  1. Löse eine der beiden Gleichungen nach einem Term auf, der sich gut in die Gleichung einsetzen lässt.

    12x - 3y = -3

    8 - 3x = y

  2. siehe Gleichsetzungsverfahren
  3. siehe Gleichsetzungsverfahren
  4. siehe Gleichsetzungsverfahren


Additionsverfahren

  1. Multipliziere die erste und / oder zweite Gleichung mit einer Zahl, sodass bei x oder y Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzten Vorzeichen entstehen. Addiere dann die linken und rechten Seiten beider Gleichungen. Dabei fällt die Variable mit den entgegengesetzt gleichen Zahlen heraus.

    3x + 11y = 14 | · (-3)

    9x - 7y = 2

    -9x - 33y = -42

    9x - 7y = 2

    -40y = -40 | :(-40)

    9x - 7y = 2

    y = 1

    Probe:

    9x - 7y = 2 | einsetzen: y=1

    9x - 7 · 1 = 2 | auflösen; + 7

    9x = 9 | : 9

    x = 1

    L = {1/1}

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