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Schule > MathematikAllgemein > Die Lösung linearer Gleichungssysteme   

  Die Lösung linearer Gleichungssysteme  

Verfasst von Oliver Kuna am 01.01.1999

Die Lösung linearer Gleichungssysteme




Inhalt:











Zeichnerische Lösung





  1. Bestimme, falls nötig, die Normalform (y = mx + n) der beiden Geradengleichungen.


  2. Zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem.


  3. Bestimme, falls vorhanden, den Schnittpunkt S der beiden Geraden.


  4. Führe die Probe durch (Ausgangsgleichungen)!











Gleichsetzungsverfahren





  1. Löse beide Gleichungen nach einem gemeinsamen Term (z.B. 2y, x, -2x, 5y) auf!




    5x = 2y + 7 | - 7

    2x + 2y = 14 | - 2x

    2y = 5x - 7

    2y = 14 - 2x







  2. Erzeuge durch Gleichsetzen eine Gleichung mit nur einer Variablen. Berechne daraus ein Ergebnis für x oder y.




    5x - 7 = 14 - 2x | + 7

    5x = 21 - 2x | + 2x

    7x = 21 | : 7

    x = 3







  3. Berechne den fehlenden x- oder y-Wert durch Einsetzen des berechneten Wertes in eine der beiden Gleichungen des Gleichungssystems.




    2y = 5x - 7 | einsetzen: x=3

    2y = 5 · 3 - 7 | auflösen

    2y = 8 | : 2

    y = 4







  4. Mache gegebenenfalls die Probe und gib die Lösungsmenge an.




    2y = 5x - 7 | einsetzen: x=3; y=4

    2 · 4 = 5 · 3 - 7 | auflösen

    8 = 8 | (wahr)



    L = {3/3}














Einsetzungsverfahren



  1. Löse eine der beiden Gleichungen nach einem Term auf, der sich gut in die Gleichung einsetzen lässt.




    12x - 3y = -3

    8 - 3x = y




  2. siehe Gleichsetzungsverfahren


  3. siehe Gleichsetzungsverfahren


  4. siehe Gleichsetzungsverfahren









Additionsverfahren





  1. Multipliziere die erste und / oder zweite Gleichung mit einer Zahl, sodass bei x oder y Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzten Vorzeichen entstehen. Addiere dann die linken und rechten Seiten beider Gleichungen. Dabei fällt die Variable mit den entgegengesetzt gleichen Zahlen heraus.




    3x + 11y = 14 | · (-3)

    9x - 7y = 2

    -9x - 33y = -42

    9x - 7y = 2

    -40y = -40 | :(-40)

    9x - 7y = 2

    y = 1




    Probe:



    9x - 7y = 2 | einsetzen: y=1

    9x - 7 · 1 = 2 | auflösen; + 7

    9x = 9 | : 9

    x = 1



    L = {1/1}









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